平方和公式（自然数平方求和）

平方和公式详解

前n个自然数的平方和公式为：

1²+2²+3²+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6

推导方法（利用立方差）：由n³-(n-1)³=3n²-3n+1，从1到n累加，左边=n³，右边=3Σn²-3Σn+n，代入Σn=n(n+1)/2，化简即得。

注意：平方和 ≠ 和的平方。(1+2+...+n)²=[n(n+1)/2]²，与平方和公式不同。

常见问题

Q：平方和公式结果一定是整数吗？

A：是的，n(n+1)(2n+1)/6总是整数，因为三个因子中必有被2和3整除的。

Q：平方和与和的平方什么关系？

A：和的平方=(1+2+...+n)²=[n(n+1)/2]²，平方和=n(n+1)(2n+1)/6，两者不同。例如n=2：平方和=5，和的平方=9。

Q：偶数的平方和怎么算？

A：2²+4²+...+(2n)²=4(1²+2²+...+n²)=4×n(n+1)(2n+1)/6=2n(n+1)(2n+1)/3。